本文介绍发表于 Canadian Geotechnical Journal（2025, 62: 1–13）的论文 Analytical solution for one-dimensional chemo-hydro-mechanical coupled consolidation under time-dependent loading in buffer clay layer。该研究针对填埋场等工程中荷载随时间逐步施加的情形，建立黏土缓冲层一维化学–渗流–力学（chemo-hydro-mechanical, CHM）耦合固结模型，通过线性组合将两个耦合偏微分方程解耦，导出斜坡荷载与指数荷载、单面与双面排水共四种工况的解析解，经 COMSOL Multiphysics 数值解验证后，系统分析了 8 个参数对孔隙水压力与污染物迁移的影响。
论文信息
| 项目 | 内容 |
|---|---|
| 题目 | Analytical solution for one-dimensional chemo-hydro-mechanical coupled consolidation under time-dependent loading in buffer clay layer |
| 作者 | Xibin Li, Yanghai Shen, Xiangyang Yu, Zhiqing Zhang, Wenjie Zhang |
| 期刊 | Canadian Geotechnical Journal, 2025, 62: 1–13 |
| DOI | 10.1139/cgj-2024-0145 |
| 时间节点 | 2024-03-17 投稿；2024-09-19 接收；2024-09-24 接收稿在线；2025-01-24 正式版在线 |
| 本人贡献 | 第三作者；按原文 CRediT 声明承担形式分析（Formal analysis）、软件实现（Software）与结果验证（Validation） |
1. 研究背景
黏土缓冲层广泛用作填埋场、工业污染场地及放射性废物处置库的隔离层。缓冲层中同时存在三类相互耦合的过程：
- 化学过程：浓度梯度驱动污染物扩散，决定污染物穿透缓冲层的时间；
- 渗流–力学过程：外荷载压缩土骨架，产生超静孔压并驱动孔隙流体渗流，渗流又以对流方式携带污染物；
- 化学–力学反馈：孔隙液浓度变化引起土体体积变化（化学渗透固结），浓度梯度本身也驱动孔隙水流动（化学渗透效应）。
既有研究存在两方面局限：其一，大量污染物运移模型将土体视为不可压缩介质，忽略了固结与运移的双向耦合；其二，已有 CHM 耦合固结解析解（如 Zheng et al. 2021, 2023）假定机械荷载为恒定值。实际填埋场中废弃物分期堆填，作用于缓冲层的荷载随时间逐渐增大，一维固结理论的研究亦表明加载过程是影响固结发展的关键因素。该论文即针对时变荷载条件建立 CHM 耦合固结的解析解。
2. 数学模型
2.1 问题描述与基本假定
如图 1 所示，黏土缓冲层顶面承受机械荷载 $q(t)$，并与浓度为 $c_0$ 的化学溶液接触；底面分为不透水（Case A，单面排水）与透水（Case B，双面排水）两种情形。基本假定为：土层完全饱和，体积压缩系数与渗透系数在固结过程中保持不变；土颗粒与孔隙水不可压缩；小变形，渗流与溶质迁移仅沿竖向发生。
时变荷载取两种典型形式（图 2）：
- 斜坡荷载：$t \le t_0$ 时 $q(t) = q_0 t / t_0$，$t > t_0$ 时 $q(t) = q_0$；
- 指数荷载：$q(t) = q_0 \left[1 - \exp(-bt)\right]$。
2.2 本构关系与守恒方程
孔隙率变化由有效应力增量与浓度变化两部分叠加，其中 $m_v$ 为机械荷载作用下的体积压缩系数，$m_c$ 为浓度变化引起的体积变化系数：
$$ \Delta n = -m_v \left[q(t) - u\right] - m_c (c - c_0) $$
孔隙水流速同时受孔压梯度与浓度梯度（化学渗透效应）控制，溶质通量包含扩散项与超滤项：
$$ v = -\frac{k}{\gamma_w}\frac{\partial u}{\partial z} + k_c \frac{\partial c}{\partial z}, \qquad J = -D \frac{\partial c}{\partial z} + D_u \frac{\partial u}{\partial z} $$
式中 $k$ 为渗透系数，$k_c$ 为化学渗透系数，$D$ 为有效扩散系数，$D_u$ 为超滤系数。此外，吸附水量随浓度变化导致孔隙液密度改变，以参数 $\xi$ 表征单位浓度增量引起的孔隙液总密度相对变化。将上述关系代入流体相与溶质的质量守恒方程，经整理得到关于超静孔压 $u$ 与浓度 $c$ 的耦合方程组：
$$ \frac{\partial u}{\partial t} = W_w \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} + W_c \frac{\partial^2 c}{\partial z^2} + \frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} t} $$
$$ \frac{\partial c}{\partial t} = C_w \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} + C_c \frac{\partial^2 c}{\partial z^2} $$
系数 $W_w$、$W_c$、$C_w$、$C_c$ 均由 $k$、$k_c$、$m_v$、$m_c$、$D$、$D_u$、$\xi$、$n_0$、$c_0$ 等材料参数组合而成，其中 $W_c$ 与 $C_w$ 为交叉耦合项：$W_c$ 反映浓度场对孔压的作用，$C_w$ 反映孔压场对浓度的作用。
2.3 边界条件
顶面：$u(L,t) = 0$，$c(L,t) = c_0$。底面：Case A 为零梯度条件（$\partial u/\partial z = 0$，$\partial c/\partial z = 0$）；Case B 为零值条件（$u = 0$，$c = 0$）。
3. 解耦方法与解析解
上述方程组的扩散项以矩阵形式耦合。论文引入线性组合 $\varphi = p_1 u + p_2 c$，要求组合系数满足
$$ (W_w - Q) p_1 + C_w p_2 = 0, \qquad W_c p_1 + (C_c - Q) p_2 = 0 $$
即 $(p_1, p_2)$ 为扩散系数矩阵 $\mathbf{A}$（第一行为 $W_w$、$W_c$，第二行为 $C_w$、$C_c$）的左特征向量，$Q$ 为对应特征值。非零解条件给出两个特征值：
$$ Q_{1,2} = \frac{1}{2}\left[ C_c + W_w \pm \sqrt{(C_c - W_w)^2 + 4 C_w W_c} \right] $$
由此得到两个相互独立的非齐次扩散方程（$i = 1, 2$）：
$$ \frac{\partial \varphi_i}{\partial t} - Q_i \frac{\partial^2 \varphi_i}{\partial z^2} = \beta_i \frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} t} $$
其中 $\varphi_1 = u + p_{21} c$，$\varphi_2 = p_{12} u + c$，$\beta_1 = 1$，$\beta_2 = p_{12}$。对解耦后的方程采用分离变量法与 Laplace 变换及其逆变换求解，即得斜坡荷载与指数荷载在 Case A、Case B 下的级数解；Case A 的特征值为 $\lambda_N = (N + 1/2)\pi / L$（$N = 0, 1, 2, \ldots$），Case B 为 $\lambda_N = N\pi / L$（$N = 1, 2, \ldots$）。最后由
$$ u = \frac{p_{21}\varphi_2 - \varphi_1}{p_{12}p_{21} - 1}, \qquad c = \frac{p_{12}\varphi_1 - \varphi_2}{p_{12}p_{21} - 1} $$
回代得到孔压与浓度的解析表达式。该方法的要点在于：只要 $\mathbf{A}$ 的两个特征值为互异正实数，交叉耦合的方程组即可经特征分解化为两个标准扩散问题，从而沿用经典固结理论的求解技术。
4. 解析解验证
采用 COMSOL Multiphysics 的数学接口直接求解原耦合方程组，与解析解对比。算例土层厚度为 1 m，级数截断项数取 $N = 100$，基准参数如下表（原文 Table 1）。
| 参数 | 取值 | 含义 |
|---|---|---|
| $n_0$ | 0.5 | 初始孔隙率 |
| $c_0$ | 230 kg/m³ | 顶面溶液浓度 |
| $q_0$ | 1×10⁵ Pa | 时变荷载终值 |
| $m_v$ | 5×10⁻⁷ 1/Pa | 机械荷载体积压缩系数 |
| $m_c$ | 1.05×10⁻⁴ m³/kg | 浓度变化体积变化系数 |
| $k$ | 1×10⁻¹⁰ m/s | 渗透系数 |
| $k_c$ | 2.14×10⁻¹³ m⁵/(kg·s) | 化学渗透系数 |
| $\gamma_w$ | 10 000 N/m³ | 水的重度 |
| $\xi$ | 0 m³/kg | 孔隙液密度随浓度变化系数 |
| $D$ | 2.5×10⁻¹⁰ m²/s | 有效扩散系数 |
| $D_u$ | 0 s | 超滤系数 |
| $t_0$ | 30 d | 斜坡荷载加载历时 |
图 3、图 4 分别为单面与双面排水条件下不同时刻的孔压分布，解析解与有限元结果吻合。
由图 3、图 4 可得以下规律：
- 两个过程的时间尺度相差约 20 倍：机械荷载引起的孔压约在 10 a 内消散完毕，而溶质扩散达到稳态约需 200 a。
- 负孔压的成因：Case A 在 $t = 10$ a 时出现明显负超静孔压，$t > 100$ a 后孔压基本消失。早期孔压由机械荷载主导；荷载孔压消散后，浓度梯度驱动孔隙水由低浓度区向高浓度区流动，在顶面溶液边界条件下表现为向外渗流，从而产生负孔压。
- 边界条件的影响：$t = 10$ a 时 Case B 的超静孔压已完全消散，而 Case A 仍存在可观的负孔压。Case B 的孔压分布不再像 Terzaghi 解那样关于土层中线对称；由于溶质自顶向下扩散，土层上部的负孔压大于下部。
图 5、图 6 表明，双面排水条件下溶质迁移速率高于单面排水；$t = 200$ a 时，Case A 的浓度沿深度趋于均匀（接近 $c_0$），Case B 则呈自底面 0 至顶面 $c_0$ 的线性分布，与两种底边界条件下的稳态解一致。
5. 参数敏感性分析
以斜坡荷载、单面排水（Case A）为基准工况，观测时刻取 $t = 1$ a，逐一改变参数考察其影响。代表性结果见图 7–图 10。
$D$ 由 $1\times10^{-11}$ 增至 $1\times10^{-10}$、$1\times10^{-9}$ m²/s 时，$t = 1$ a 的溶质扩散深度分别约为 0.1、0.35 与 1 m。$D$ 越大孔压消散越慢：$D = 1\times10^{-11}$ m²/s 时底部孔压约 25 kPa，$D = 4\times10^{-9}$ m²/s 时增至约 38 kPa；$D$ 较小时浓度梯度较大，化学渗透固结在土层顶部附近产生负孔压。
$k$ 对溶质迁移几乎无影响，对孔压消散影响显著。$k = 1\times10^{-10}$ m/s 时底部孔压约 25 kPa；$k > 4\times10^{-10}$ m/s 时机械荷载孔压在 1 a 内基本消散，可观察到浓度梯度引起的负孔压。$k$ 不影响溶质迁移的原因在于：小变形条件下固结引起的对流距离有限，固结结束后对流随之停止，其对溶质迁移的贡献远小于扩散；仅当土层上下表面存在恒定水头差时对流才成为主导因素，此情形不在该研究范围内。
$\xi$ 对迁移与孔压均有显著影响：$\xi$ 越大溶质迁移越快，浓度变化引起的负孔压越大。$\xi = 4\times10^{-3}$ m³/kg 时底部负孔压低于 −150 kPa，其量级已超过荷载终值 $q_0$（100 kPa）。
$t_0$ 对溶质迁移的影响可忽略，原因是机械固结所需时间远短于溶质迁移时间。$t_0$ 越大加载速率越低，机械荷载引起的孔压越小；$t_0 = 100$ a 时荷载与浓度变化引起的正孔压基本可忽略，孔压转为负值，化学渗透固结占主导。
全部 8 个参数的影响归纳如下：
| 参数 | 对污染物迁移的影响 | 对孔压的影响 |
|---|---|---|
| $D$（有效扩散系数） | 显著 | 显著：$D$ 越大消散越慢，$D$ 较小时顶部出现负孔压 |
| $D_u$（超滤系数） | 显著（原文结论）；图示差异集中于顶部排水边界附近 | $D_u$ 越大消散越慢，底部不透水边界附近最明显 |
| $\xi$（密度变化系数） | 显著：$\xi$ 越大迁移越快 | 显著：$\xi$ 越大负孔压越大 |
| $k$（渗透系数） | 可忽略 | 显著：$k$ 越大荷载孔压消散越快 |
| $k_c$（化学渗透系数） | 可忽略 | $k_c$ 越大超静孔压越小，渗透诱发负孔压抵消荷载孔压并加速固结 |
| $m_c$（浓度体积变化系数） | 可忽略 | $m_c$ 越大，浓度升高使孔隙率降低，渗透固结产生的正孔压越大 |
| $m_v$（体积压缩系数） | 可忽略 | $m_v$ 越大消散越慢，与 Terzaghi 固结理论一致 |
| $t_0$（加载历时） | 可忽略 | $t_0$ 越大荷载孔压越小，化学渗透固结占比上升 |
6. 主要结论
- 所研究的参数均影响孔压的产生与消散，但仅 $D$、$D_u$ 与 $\xi$ 显著影响污染物迁移过程，其余参数的影响可忽略。
- 水力与扩散边界条件对孔压分布和污染物迁移影响显著：双面排水（Case B）条件下孔压消散与污染物迁移均快于单面排水（Case A）。
- 机械荷载增加与浓度升高产生正孔压，浓度梯度产生负孔压；早期孔压由机械荷载主导，后期由浓度梯度引起的负孔压主导，二者量级不同。
- 机械荷载加载历时越长（加载速率越低），浓度梯度引起的负孔压越显著。
7. 工程意义
上述结论对黏土缓冲层设计有两点直接含义：其一，污染物穿透时间主要由 $D$、$D_u$、$\xi$ 及底部边界条件控制，渗透性与压缩性参数对其影响可忽略；其二，填埋过程越缓慢，化学渗透引起的负孔压越突出，以恒定荷载假定评估缓冲层的孔压与有效应力状态将产生偏差。此外，该解析解对应线性耦合扩散系统，可作为数值方法（包括物理信息神经网络 PINN）求解多场耦合问题时的基准算例，与本站 PINN 求解饱和土 Biot 固结 的研究方向相衔接。
引用格式
Li X, Shen Y, Yu X, Zhang Z, Zhang W. Analytical solution for one-dimensional chemo-hydro-mechanical coupled consolidation under time-dependent loading in buffer clay layer. Canadian Geotechnical Journal, 2025, 62: 1–13. https://doi.org/10.1139/cgj-2024-0145
@article{li2025analytical,
title = {Analytical solution for one-dimensional chemo-hydro-mechanical coupled consolidation under time-dependent loading in buffer clay layer},
author = {Li, Xibin and Shen, Yanghai and Yu, Xiangyang and Zhang, Zhiqing and Zhang, Wenjie},
journal = {Canadian Geotechnical Journal},
volume = {62},
pages = {1--13},
year = {2025},
doi = {10.1139/cgj-2024-0145}
}注：文中图表引自原文（© 2025 The Author(s)，Canadian Science Publishing 出版），图题为中文转述，仅用于学术交流。
