卷积算子交互实验台

1定义与记号

设输入图像为 $x$，核尺寸为 $k$（$k$ 为奇数，$r=(k-1)/2$），权重为 $w$，偏置为 $b$，则输出特征图的逐点定义为

深度学习框架中的“卷积”实为互相关（cross-correlation），核不作 180° 翻转；本页采用同一约定，故上式无翻转项。对于对称核（如高斯核）二者等价，对于方向性核（如 Sobel）两种约定仅相差整体符号。

输出尺寸由填充宽度 $p$ 与步长 $s$ 决定：

当 $p=(k-1)/2$ 且 $s=1$ 时输出与输入同尺寸（same 填充）；当 $p=0$（valid 填充）时每次卷积使边长减少 $k-1$，此即 U-Net 原文中特征图尺寸逐层收缩、跳跃连接需裁剪对齐的成因。

核元素之和 $\sum w$ 决定均值响应：$\sum w=1$ 时图像平均亮度保持（低通、平滑类算子）；$\sum w=0$ 时输出为零均值且含负值（高通、微分类算子），必须经显示映射后方可呈现为灰度图像，本页在第 5 节提供五种映射方式。

2图像输入

支持文件选择、拖放与剪贴板粘贴（Ctrl+V）。为控制计算量，载入时按最长边等比缩放至指定分辨率。

3卷积核与计算参数

典型卷积核的连续形态

离散权重本身难以显示算子的形态，故下列图谱以其重建的连续函数表示：对权重作三次样条（Catmull–Rom）插值并在支撑区外按零延拓，得到过全部采样点的连续函数 $w(x)$ 与曲面 $w(x,y)$。左图为二维连续曲面（暖色为负、强调色为正，色深正比于 $|w|/\max|w|$），右图为中心行（实线）与中心列（虚线）的一维连续剖面，空心点标出整数采样位置，即离散权重的取值处。

三类算子的连续形态区别明确：低通核为单峰非负的钟形（高斯型）；一阶方向微分核为奇函数，中心过零、两侧异号（高斯一阶导型）；二阶微分与带通核呈中心与外环异号的墨西哥帽形。可分离的核在卡片中给出其一维因子（$K=vh^{\top}$），此时二维卷积可拆为两次一维卷积，计算量由 $O(k^2)$ 降至 $O(2k)$；拉普拉斯、LoG、浮雕等不可分离，无法写成两个一维核的外积。点击任一卡片即可将该核载入编辑器。

4逐点计算演示

将当前输入降采样为 G×G 灰度网格，展开单个输出像素的乘加过程。移动鼠标或点击左侧网格可指定窗口位置，亦可播放扫描动画。此处固定步长为 1 并采用 same 填充，以便输入输出逐点对应。

当前窗口的乘加展开

5特征图库：显示映射、导出与层叠

每次卷积或后处理生成一张特征图，等价于卷积层输出的一个通道。显示映射决定浮点响应如何转换为 0–255 灰度：截断直接钳制至 [0,255]；偏移加 128 后钳制，可同时呈现正负响应；绝对值取模后钳制；绝对值拉伸按最大模线性归一，适用于梯度类算子；最小-最大拉伸将实际值域线性映射至满量程。导出的 PNG 与所选映射一致。

6特征图运算：合成、池化与上采样

上采样的构造：从坐标映射到像素

两种上采样算子均以半像素对齐的坐标映射为基础。放大倍数为 2 时，输出坐标 $i$ 对应的输入坐标及其小数部分为

最近邻插值取距离最近的输入像素，等价于按 2×2 块复制：

双线性插值对四个邻点按面积权重加权（$\beta$ 为纵向坐标的小数部分）：

放大倍数为 2 时 $\alpha,\beta$ 仅取 $1/4$ 与 $3/4$ 两个值，故双线性上采样等价于一次权重固定、步长为 2 的转置卷积，其可分离核为

边界之外按复制边缘取值，故首尾输出退化为直接复制。转置卷积（反卷积）与此同构，区别仅在于 U-Net 中该核的权重由训练得到而非固定。

图中标注的权重对应输出点 $y_3$：其输入坐标 $u=1.25$，故由 $x_1$ 与 $x_2$ 按 $3/4$ 与 $1/4$ 合成。连线粗细与权重成正比。

逐点计算演示

与第 4 节的卷积演示同构：左侧为输入网格（当前输入降采样所得的灰度块），右侧为 ×2 上采样的输出网格，按扫描顺序逐点填充。在右侧网格上移动鼠标或点击可指定输出像素，下方展开其取点与权重。切换插值方式即可直接对照：最近邻输出为 2×2 常数块，双线性输出在块间形成线性过渡。数值由页面实际使用的上采样函数计算，非另行推导。

当前输出点的取点与加权

与跳跃连接的合并

上采样只负责恢复分辨率，与编码分支的合并由本节的多图合成完成。设编码分支特征为 $F_{\mathrm{enc}}$、解码分支的上采样结果为 $\mathcal{U}(F_{\mathrm{dec}})$，本页的加性融合为

U-Net 原文采用通道拼接后再卷积。若拼接后所接为 $1\times1$ 卷积、权重为 $(a,b)$，则

即加性融合是“拼接 + 卷积”在 $1\times1$ 情形下的特例；原文所接为 $3\times3$ 卷积且权重由训练得到，融合方式是学出来的而非人工指定。合成时以第一张选中图的尺寸为基准，其余输入作双线性重采样对齐——边长为奇数时池化取 $\lfloor w/2\rfloor$，上采样后会相差一个像素（如 $213\to106\to212$），该步即用于补齐；U-Net 原文因使用 valid 卷积，编码器特征更大，改用中心裁剪对齐。

7感受野追溯

感受野（receptive field）指某一输出像素的取值所依赖的原始图像区域的边长。设第 $l$ 层核尺寸为 $k_l$、步长为 $s_l$、单侧填充为 $p_l$，则感受野边长 $r_l$、采样间隔 $j_l$（输出移动一像素对应原图移动的距离）与首像素中心偏移 $\mathrm{start}_l$ 满足如下递推：

初值为 $j_0=1$、$r_0=1$、$\mathrm{start}_0=0.5$（原始图像的单个像素，感受野为 1，采样间隔为 1）。

据此，输出坐标 $(i,j)$ 在原始图像中的中心与依赖区间为

下方面板对当前特征图执行该映射：在右侧特征图上移动鼠标指定一个输出像素，左侧原始图像即高亮其全部依赖像素。

运算链上的感受野增长

方块边长按各层感受野等比绘制（以链末为满量程）。逐点运算（ReLU、归一化）不改变几何关系，故感受野保持不变。

堆叠与下采样的增长速率对比

以一维情形示意：下图每个圆点为一个像素，自下而上为逐层运算，着色部分即顶层中心像素的依赖链。图中卷积层的窗口宽度取 $k=4$，故每个输出点向下连接 4 个输入点；池化层窗口为 2。连接数恒等于窗口宽度，感受野即由此逐层累加。

路径 A 中每层使感受野增加 $k-1$，增长为线性：$r=1+L(k-1)$；图中 $k=4$、$L=3$，得 $r=10$（若取 $k=3$ 则为 $r=7$）。路径 B 在同为三层的条件下得 $r=11$：池化使 $j$ 翻倍，其后每层的贡献 $(k-1)j$ 随之翻倍，故感受野随下采样次数指数增长。U-Net 编码器依靠这一机制，在四次下采样后使瓶颈层的感受野覆盖数百像素的尺度，从而获得足以判别语义类别的上下文；代价是空间定位精度按 $j$ 的倍数下降，须由跳跃连接补偿。

工程上的判据：感受野应不小于待识别目标的特征尺度。若目标结构跨度约 60 像素而网络感受野仅 20 像素，则任一输出像素都无法“看到”完整结构，分割结果将出现系统性的边界与拓扑错误。

8从卷积核到 U-Net

U-Net 由收缩路径（编码器）与扩张路径（解码器）构成，二者在同一分辨率层级间以跳跃连接相联，整体呈 U 形。编码器通过“卷积—激活—池化”反复堆叠，使感受野随深度指数式扩大，获取语义信息但损失空间精度；解码器通过上采样逐级恢复分辨率；跳跃连接把编码器同层级的高分辨率特征直接送入解码器，补偿池化造成的定位精度损失。该结构在医学图像分割等小样本、强边界要求的任务中成为基准方法。

本页操作与 U-Net 组件的对应关系

建议实验流程

1. 在第 2 节载入“类细胞图像”或自有图像，处理分辨率取 320 px。
2. 第 3 节选择“高斯 3×3”，通道方式取灰度，施加卷积得到 F1，并勾选“自动设为新的输入”。观察平滑对噪声的抑制。
3. 第 6 节点击“最大池化 2×2”得到 F2（尺寸减半，感受野翻倍），将 F2 设为输入。此步对应编码器的一次下采样。
4. 分别施加 Sobel X 与 Sobel Y 得到 F3、F4；在第 6 节同时选中二者并以“梯度幅值”合成，得到低分辨率的边缘响应 F5。
5. 将 F5 设为输入，执行“双线性上采样 ×2”得到 F6，其尺寸已恢复至原始水平，但边界明显模糊——此即池化造成的定位精度损失。
6. 返回第 3 节，对 F1（原分辨率）施加 Sobel X/Y 并合成为 F7；随后同时选中 F6 与 F7，以加权求和（权重各 0.5）合成 F8。对比 F6 与 F8 可见跳跃连接对高分辨率边界细节的补偿作用。
7. 在第 7 节将追溯对象依次切换为 F1、F2、F5，对照三者的感受野（分别为 3、4、8 量级）与采样间隔 j，可定量看出：下采样使同一输出像素的依赖区域扩大一倍以上，而定位精度同步降至 j 像素。
8. 可进一步对同一输入施加多种核并全部保留，观察“单层多通道”的特征多样性；再对任一通道施加 ReLU，理解非线性对响应极性的筛选。